大一下学期学习了课程“高等数学(下册)”,本文是期末时对本课程的总结与归纳,同时便于以后复查。
1. 常微分方程 (15%)
1.1 微分方程基本概念:阶
- 微分方程中所出现的最高阶导数的阶数,称为微分方程的阶。
1.2 变量分离方程 (6.2.1)
E.g.
1.3 一阶非齐次线性微分方程 (6.3.1)
As
Formula
1.4 二阶常系数非齐次线性微分方程 (6.7.3)
As:
解题步骤:
- 设等号右半边为0。
- 转化为特征方程(一元二次方程),解出特征根。
判断特征根的情况,得到通解 Y:
观察等号右半边 λ 与 Pm(x) 的情况。
把 λ 结合特征根的情况,得出 k 的取值。
根据 Pm(x) 是几次多项式以假设 Qm(x) 的形式,如上表。
- 得出含有待定系数项的特解 y*。
- 将 y 求一次导 (y\)’、二次导 (y*)’’,并与 y* 一同代入原方程,得出一个等号左右两边的对应式。
- 列出方程对应左右两边形式求出待定系数。
- 将待定系数代入含有待定系数项的特解 y*。
- 将通解与特解相加,得出答案 y = Y + y*。
2. 向量 (5%)
2.1 数量积 (7.2.2)
E.g.
2.2 求旋转曲面的方程 (7-3 4, 5)
2.3 平面的点法式方程 (7.5.1)
3. 多元函数微分法及其应用 (25%)
3.1 讨论二元函数的极限是否存在 (8.1.8)
E.g.
E.g.
3.2 求一点处的全微分 (8.3.1)
E.g. 根据下式
求
解:
3.3 多元复合抽象函数求二阶偏导数(具有二阶连续偏导数) (8.5.7)
E.g.
必记偏导、连续、可微的关系
3.4 隐函数求二阶偏导数并求值 (8.6.2)
Formula
E.g.
3.5 条件极值应用 (8.8.8)
E.g.
4. 重积分及其应用 (20%)
4.1 直角坐标下计算二重积分 (9-2 3)
4.2 极坐标下计算二重积分 (9-2 8)
4.3 柱坐标系下计算三重积分 (9.3.4 9-3 9(3))
5. 曲线积分与曲面积分 (10%)
5.1 求对弧长的曲线积分 (10-1 1(1)-(4))
5.2 求对坐标的曲线积分:格林公式 (10.3.3 10-3 1)
Formula
5.3 求对坐标的曲面积分 (10.5.2 10-5 1)
6. 无穷级数 (25%)
6.1 判别正项级数敛散性:比值审敛法 (11.2.8, 11-2 2)
必记两个级数结论:
必记两个重要极限:
6.2 判别交错级数敛散性:莱布尼兹审敛法 (11.3.1)
绝对收敛与条件收敛
6.3 求幂级数收敛半径、收敛区间和收敛域 (11.4.1 11-4 1(1)-(4))
6.4 求幂级数的和函数 (11.4.4)
步骤
- 求幂级数收敛域 x∈( … )。
- 令 S(x) = 原式展开式。
- 试积分/微分得到 S’(x)。
- 得解后试将 S’(x) 微分/积分回来。
- 即得 S(x) 的解(记得加上原函数的收敛域 x∈( … ))。
6.5 将函数在指定点展开成 x 的泰勒级数 (11-5 4)
其实就是将函数展开成 (x - ?) 的幂级数
步骤
- 求幂级数收敛域 x∈( … )。
- 根据题目要求配凑得出相应形式。
- 代入相应的麦克劳林公式替换。
- 整理结果(记得加上原函数的收敛域 x∈( … ))。
本文作者:以成
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