大一下学期学习了课程“高等数学（下册）”，本文是期末时对本课程的总结与归纳，同时便于以后复查。

1. 常微分方程 (15%)

1.1 微分方程基本概念：阶

• 微分方程中所出现的最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶。

1.2 变量分离方程 (6.2.1)

E.g.

1.3 一阶非齐次线性微分方程 (6.3.1)

As

$$\frac{d y}{d x}+P(x) y=Q(x)$$

Formula

$$y=e^{-\int P(x) d x}\left(\int Q(x) \cdot e^{\int P(x) d x} d x+C\right)$$

1.4 二阶常系数非齐次线性微分方程 (6.7.3)

As:

$$y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y=e^{\lambda x} P_{m}(x)$$

解题步骤：

1. 设等号右半边为0。
2. 转化为特征方程（一元二次方程），解出特征根。

3. 判断特征根的情况，得到通解 Y：

   

4. 观察等号右半边 λ 与 Pm(x) 的情况。

   $$e^{\lambda x} P_{m}(x)$$

5. 把 λ 结合特征根的情况，得出 k 的取值。

   

6. 根据 Pm(x) 是几次多项式以假设 Qm(x) 的形式，如上表。

7. 得出含有待定系数项的特解 y*。
8. 将 y 求一次导 (y\)’、二次导 (y*)’’，并与 y* 一同代入原方程，得出一个等号左右两边的对应式。
9. 列出方程对应左右两边形式求出待定系数。
10. 将待定系数代入含有待定系数项的特解 y*。
11. 将通解与特解相加，得出答案 y = Y + y*。

2. 向量 (5%)

2.1 数量积 (7.2.2)

E.g.

$$\vec{a}=3 \vec{i}-\vec{j}-2 \vec{k} \qquad \vec{b}=\vec{i}+2 \vec{j}-\vec{k}$$ $$\begin{array}{l}{|\vec{a} |=\sqrt{3^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{9+1+4}=\sqrt{14}} \\ {|\vec{b}|=\sqrt{1^{2}+2^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{1+4+1}=\sqrt{6}} \\ {\vec{e}_{a}=\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}=\left(\frac{3}{\sqrt{14}}, \frac{-1}{\sqrt{14}}, \frac{-2}{\sqrt{14}}\right)} \\ {\vec{a} \cdot \vec{b}=(3,-1,-2) \cdot(1,2,-1)=3-2+2=3} \\ {\vec{a} \cdot \vec{b}=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{3}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{6}}=\frac{3}{2 \sqrt{21}}}\end{array}$$

2.2 求旋转曲面的方程 (7-3 4, 5)

2.3 平面的点法式方程 (7.5.1)

3. 多元函数微分法及其应用 (25%)

3.1 讨论二元函数的极限是否存在 (8.1.8)

E.g.

E.g.

3.2 求一点处的全微分 (8.3.1)

E.g. 根据下式

$$z=\arctan \frac{y}{x}$$

求

$$d\left.z\right|_{(1,1)}$$

解：

$$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{1+\left(\frac{y}{x}\right)^{2}} \cdot\left(-\frac{y}{x^{2}}\right)=-\left.\frac{y}{x^{2}+y^{2}}\right|_{(1,1)}=-\frac{1}{2}$$ $$\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{1}{1+\left(\frac{y}{x}\right)^{2}} \cdot \frac{1}{x}=\left.\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\right|_{(1,1)}=\frac{1}{2}$$ $$d z=-\frac{1}{2} d x+\frac{1}{2} d y$$

3.3 多元复合抽象函数求二阶偏导数（具有二阶连续偏导数） (8.5.7)

E.g.

必记偏导、连续、可微的关系

3.4 隐函数求二阶偏导数并求值 (8.6.2)

Formula

E.g.

3.5 条件极值应用 (8.8.8)

E.g.

4. 重积分及其应用 (20%)

4.1 直角坐标下计算二重积分 (9-2 3)

4.2 极坐标下计算二重积分 (9-2 8)

4.3 柱坐标系下计算三重积分 (9.3.4 9-3 9(3))

5. 曲线积分与曲面积分 (10%)

5.1 求对弧长的曲线积分 (10-1 1(1)-(4))

5.2 求对坐标的曲线积分：格林公式 (10.3.3 10-3 1)

Formula

$$\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) d x d y=\oint_{L} P d x+Q d y$$

5.3 求对坐标的曲面积分 (10.5.2 10-5 1)

6. 无穷级数 (25%)

6.1 判别正项级数敛散性：比值审敛法 (11.2.8, 11-2 2)

必记两个级数结论：

必记两个重要极限：

$$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1$$ $$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e$$

6.2 判别交错级数敛散性：莱布尼兹审敛法 (11.3.1)

绝对收敛与条件收敛

6.3 求幂级数收敛半径、收敛区间和收敛域 (11.4.1 11-4 1(1)-(4))

6.4 求幂级数的和函数 (11.4.4)

步骤

1. 求幂级数收敛域 x∈( … )。
2. 令 S(x) = 原式展开式。
3. 试积分/微分得到 S’(x)。
4. 得解后试将 S’(x) 微分/积分回来。
5. 即得 S(x) 的解（记得加上原函数的收敛域 x∈( … )）。

6.5 将函数在指定点展开成 x 的泰勒级数 (11-5 4)

其实就是将函数展开成 (x - ?) 的幂级数

步骤

1. 求幂级数收敛域 x∈( … )。
2. 根据题目要求配凑得出相应形式。
3. 代入相应的麦克劳林公式替换。
4. 整理结果（记得加上原函数的收敛域 x∈( … )）。